Nghịch lý ngày sinh nói rằng trong một nhóm chỉ 23 người, khả năng có ít nhất hai người trùng ngày sinh nhật (cùng ngày, cùng tháng, không tính năm) đã nhỉnh hơn một nửa, khoảng 50,7%. Nhóm 40 người thì con số lên khoảng 89%, nhóm 57 người khoảng 99%. Nó gọi là nghịch lý không phải vì toán sai, mà vì gần như ai nghe lần đầu cũng đoán phải cần cả trăm người mới đủ.
Cái mẹo nằm ở chỗ ta đang hỏi "có hai người bất kỳ nào trùng nhau không", chứ không hỏi "có ai trùng với mình không". Hai câu hỏi nghe na ná mà khác nhau rất xa: 23 người tạo ra 253 cặp, và mỗi cặp là một cơ hội trùng. Phần dưới đây tính tay từng bước, giải thích vì sao trực giác hụt, rồi đem cách nghĩ đó ra soi những lần ta kêu "sao trùng hợp thế".
Bài toán phát biểu thế nào cho đúng
Muốn tính cho gọn, các sách xác suất đều giả định ba điều: một năm có 365 ngày (bỏ ngày 29 tháng 2), mỗi người sinh vào ngày nào cũng có khả năng như nhau, và ngày sinh của người này không dính dáng gì tới người kia (không có cặp sinh đôi trong nhóm). Ba giả định này không khớp hẳn với đời thật, nhưng như phần sau sẽ thấy, đời thật chỉ làm cho chuyện trùng dễ xảy ra hơn, không khó hơn.
Câu hỏi chính xác là: chọn ngẫu nhiên n người, xác suất để có ít nhất một cặp trùng ngày sinh là bao nhiêu. "Ít nhất một cặp" nghĩa là chỉ cần một cặp là đủ, hai cặp, ba cặp hay ba người cùng một ngày cũng tính. Chính vì có quá nhiều cách để "có ít nhất một" nên người ta tính đường vòng: tính xác suất của chuyện ngược lại, tức là tất cả mọi người đều khác ngày nhau, rồi lấy 1 trừ đi.
Cách đi đường vòng này là thói quen nên học thuộc khi gặp bất cứ câu hỏi nào có chữ "ít nhất một". Đếm trực tiếp các trường hợp có trùng thì rối vô cùng, còn đếm các trường hợp không trùng thì chỉ là nhân một dãy phân số. Ở bài khác trong chuyên mục này, cùng phép tính đó được dùng để trả lời câu "chuyện một phần nghìn có xảy ra với mình không".
Tính tay từng bước với nhóm nhỏ
Hình dung mọi người lần lượt bước vào phòng và nói ngày sinh của mình. Ta theo dõi xác suất để chưa ai trùng ai:
- Người thứ nhất bước vào: chưa có ai để trùng, xác suất "chưa trùng" là 365/365, tức là 1.
- Người thứ hai: phải tránh đúng một ngày đã có, còn 364 ngày được phép. Xác suất chưa trùng là 364/365, khoảng 99,7%.
- Người thứ ba: phải tránh hai ngày, nhân thêm 363/365. Xác suất chưa trùng sau ba người là 365/365 × 364/365 × 363/365, khoảng 99,2%.
- Cứ thế, người thứ k phải tránh k − 1 ngày đã có, nhân thêm (365 − k + 1)/365. Mỗi phân số đều rất gần 1, nên lúc đầu tích giảm chậm, ai cũng thấy yên tâm.
- Nhưng tích của nhiều số hơi nhỏ hơn 1 lại giảm nhanh hơn ta tưởng. Đến người thứ 23, tích còn khoảng 0,493. Lấy 1 trừ đi được khoảng 0,507: hơn một nửa số nhóm 23 người sẽ có ít nhất một cặp trùng sinh nhật.
Có thể tự kiểm bằng máy tính bỏ túi: nhân lần lượt 364/365, 363/365… và dừng ở số hạng thứ 22 (vì người đầu tiên không phải nhân gì). Phép kiểm này mất vài phút nhưng giúp ta tin vào con số hơn là đọc mười lời giải thích.
Bảng số: nhóm bao nhiêu người thì trùng dễ đến mức nào
Các con số dưới đây tính theo đúng ba giả định ở trên, làm tròn đến phần trăm:
| Số người trong nhóm | Xác suất có ít nhất một cặp trùng ngày sinh | Hình dung đời thường |
|---|---|---|
| 10 | khoảng 12% | một mâm cỗ đông, cứ tám mâm thì chừng một mâm có cặp trùng |
| 20 | khoảng 41% | một đội bóng kèm ban huấn luyện |
| 23 | khoảng 51% | mốc "nửa nọ nửa kia" nổi tiếng |
| 30 | khoảng 71% | một lớp học nhỏ |
| 40 | khoảng 89% | lớp học thường gặp ở trường phổ thông |
| 45 | khoảng 94% | lớp đông, gần như lớp nào cũng có |
| 57 | khoảng 99% | một toa xe khách giường nằm đầy |
| 70 | trên 99,9% | hiếm đến mức đáng ngạc nhiên nếu KHÔNG có cặp nào |
Điểm đáng chú ý là đường cong tăng rất dốc trong khoảng 15 đến 40 người, rồi gần như phẳng ở mức chắc chắn. Muốn xác suất đúng 100% thì phải có 366 người (nguyên lý chuồng bồ câu: 366 người mà chỉ có 365 ngày thì kiểu gì cũng có hai người chung một ngày), nhưng thực tế chỉ cần một phần năm số đó là đã gần như chắc.
Vì sao trực giác đoán sai xa đến vậy
Lý do thứ nhất là ta vô thức đặt mình vào giữa câu hỏi. Khi nghe "có ai trùng sinh nhật không", não dịch ngay thành "có ai trùng sinh nhật với mình không". Câu đó thì đúng là khó: trong 22 người khác, xác suất có người trùng đúng ngày của mình chỉ khoảng 6%. Muốn câu đó lên mức một nửa thì phải có khoảng 253 người khác. Trực giác đoán "cần cả trăm người" thật ra đang trả lời đúng một câu hỏi khác.
Lý do thứ hai là ta đếm người chứ không đếm cặp. 23 người nghe ít, nhưng số cặp là 23 × 22 / 2 = 253. Mỗi cặp có khoảng 1/365 cơ hội trùng. 253 cơ hội nhỏ cộng dồn lại không còn nhỏ nữa. Số cặp tăng gần theo bình phương số người: gấp đôi số người thì số cặp gấp khoảng bốn lần. Trực giác con người quen với những thứ tăng đều, nên gặp thứ tăng theo bình phương là đoán hụt.
Lý do thứ ba là con số 365 trông rất lớn so với 23, nên ta có cảm giác "còn trống nhiều ngày lắm". Đúng là còn trống nhiều ngày, nhưng câu hỏi không cần mọi người chiếm hết lịch, chỉ cần một lần va chạm. Giống như trong một bãi giữ xe rộng, chưa cần đầy bãi thì đã có hai chiếc xe dựng sát nhau.
Đời thật còn làm chuyện trùng dễ hơn
Sinh nhật không rải đều trong năm. Ở nhiều nước, số trẻ sinh ra dao động theo mùa và theo tháng; có tháng đông hơn hẳn tháng khác. Toán học chứng minh được rằng khi ngày sinh phân bố không đều, xác suất có cặp trùng chỉ có thể tăng lên chứ không giảm. Vậy con số 50,7% với 23 người là mức tối thiểu, không phải mức trần.
Sinh mổ theo lịch làm dồn ngày. Khi nhiều ca sinh được hẹn trước, số ca rơi vào ngày làm việc nhiều hơn cuối tuần và ngày lễ. Chi tiết này khác nhau theo từng nơi, nhưng hướng tác động thì giống nhau: ngày sinh dồn cục hơn, trùng dễ hơn.
Giấy tờ ghi ngày sinh có những ngày "mặc định". Ở thế hệ trước, không ít người không nhớ rõ ngày sinh và được ghi một ngày quy ước như mùng 1 tháng 1 hoặc ngày đầu tháng. Một nhóm người lớn tuổi có thể trùng ngày trên giấy nhiều hơn hẳn so với tính toán, đơn giản vì cách ghi chép chứ không vì gì khác.
Âm lịch và dương lịch cho hai kết quả khác nhau. Nếu nhóm tính sinh nhật theo âm lịch, số ngày trong năm thay đổi theo năm nhuận tháng, và câu hỏi trở nên khó tính chính xác hơn. Nhưng tinh thần vẫn y nguyên: số cặp lớn thì trùng là chuyện thường.
Từ bài toán ngày sinh đến những lần "sao trùng hợp thế"
Giá trị thật của bài toán ngày sinh không nằm ở chuyện sinh nhật, mà ở thói quen đặt câu hỏi: đang có bao nhiêu cặp, bao nhiêu cơ hội để chuyện này xảy ra? Khi hai đồng nghiệp phát hiện cùng quê một xã, cùng học một thầy, hay biển số xe trùng bốn số cuối, cảm giác đầu tiên là "hiếm thật". Nhưng thử đếm: trong một phòng ba mươi người, có 435 cặp; mỗi cặp có hàng chục thứ có thể trùng (quê, trường, tên mẹ, ngày cưới, số nhà…). Không trùng một thứ gì mới là lạ.
Câu chuyện quen thuộc ở các buổi họp lớp là có hai người trùng ngày sinh và cả lớp thấy như duyên. Bài toán cho thấy với lớp bốn mươi người, chuyện đó gần như chắc chắn xảy ra; cái hiếm là lớp không có cặp nào. Biết vậy không làm buổi họp lớp kém vui, chỉ đổi cảm giác "điềm" thành cảm giác "thú vị".
Có thể làm một thí nghiệm nhỏ ngay trong buổi họp lớp hay buổi liên hoan cơ quan: trước khi hỏi, cho mọi người đoán xem cả phòng có cặp nào trùng sinh nhật không, rồi mới lần lượt đọc ngày sinh. Phần đông sẽ đoán là không. Khi kết quả ra, cả phòng vừa được một tràng cười vừa được một bài học xác suất nhớ lâu hơn mọi lời giảng.
Bài toán cũng được dùng nghiêm túc ngoài đời. Người làm tin học gọi nó là "tấn công ngày sinh" khi tính xem cần bao nhiêu mã ngẫu nhiên thì bắt đầu có hai mã trùng nhau: với không gian N giá trị, chỉ cần khoảng căn bậc hai của N mẫu là va chạm đã thành chuyện thường. Đó là lý do mã nhận dạng, mã giao dịch phải dài hơn nhiều so với cảm giác "đủ dùng".
Những hiểu lầm hay gặp về nghịch lý ngày sinh
Vì con số 23 nổi tiếng nên nó hay bị nhắc lại sai. Mấy chỗ nên giữ cho chính xác:
- "23 người thì chắc chắn có người trùng" — sai. 23 người chỉ cho khả năng nhỉnh hơn một nửa; gần nửa số nhóm 23 người vẫn không có cặp nào.
- "23 người thì có nửa phần trùng với mình" — sai. Trùng với một người cụ thể thì chỉ khoảng 6%; con số 50% là cho bất kỳ cặp nào.
- "Đây là nghịch lý nên toán có vấn đề" — không. Chữ nghịch lý ở đây chỉ có nghĩa là "trái trực giác", phép tính hoàn toàn chặt chẽ và kiểm được bằng thực nghiệm.
- "Trùng sinh nhật là dấu hiệu hai người có duyên đặc biệt" — đó là cách nói vui, không phải điều bài toán nói. Bài toán chỉ cho biết chuyện trùng là bình thường.
- "Thêm năm sinh vào thì cũng tính y như vậy" — không. Trùng cả ngày, tháng, năm sinh hiếm hơn nhiều vì không gian lớn hơn hàng chục lần, trừ khi cả nhóm cùng tuổi như một lớp học.
Một bài tập nhỏ cho người thích kiểm chứng: lấy danh sách sinh nhật của vài lớp học hoặc vài phòng ban (đã ẩn tên), đếm xem bao nhiêu nhóm có cặp trùng, rồi so với bảng ở trên. Với đủ nhiều nhóm, tỷ lệ thực tế sẽ bám khá sát con số tính tay.
Câu hỏi thường gặp
Nhóm bao nhiêu người thì chắc chắn 100% có hai người trùng sinh nhật?
Cần 366 người nếu bỏ ngày 29 tháng 2, hoặc 367 người nếu tính cả ngày đó. Lý do là nguyên lý chuồng bồ câu: số người nhiều hơn số ngày thì buộc phải có hai người chung một ngày. Nhưng chỉ khoảng 70 người là xác suất đã vượt 99,9%, nên trên thực tế không cần tới con số tuyệt đối.
Vì sao gọi là nghịch lý khi phép tính hoàn toàn đúng?
Trong toán học, chữ nghịch lý có hai nghĩa: mâu thuẫn logic thật sự, hoặc chỉ là kết quả trái với trực giác. Bài toán ngày sinh thuộc loại thứ hai. Không có gì mâu thuẫn, chỉ là trực giác con người đếm người thay vì đếm cặp nên đoán hụt rất xa.
Cần bao nhiêu người để có nửa phần có người trùng đúng sinh nhật của mình?
Khoảng 253 người khác. Con số này lớn hơn mười lần so với 23 vì câu hỏi bị ghim vào một ngày cụ thể, không còn được tính mọi cặp. Phần lớn người nghe nghịch lý lần đầu đang vô thức nghĩ tới câu hỏi này, nên mới đoán cần nhiều người.
Tính sinh nhật theo âm lịch thì kết quả có khác không?
Con số cụ thể thay đổi một chút vì năm âm lịch dài ngắn khác nhau và có tháng nhuận, nhưng kết luận gần như giữ nguyên: vài chục người là đủ để chuyện trùng thành bình thường. Cái quyết định là số cặp tăng gần theo bình phương số người, điều này không phụ thuộc lịch nào.
Có cách nào kiểm chứng bằng thực nghiệm mà không cần công thức?
Có. Lấy danh sách sinh nhật đã ẩn tên của nhiều nhóm cùng cỡ, chẳng hạn hai mươi lớp mỗi lớp khoảng 23 học sinh, rồi đếm số lớp có cặp trùng. Hoặc dùng bảng tính tạo ngẫu nhiên 23 số từ 1 đến 365, lặp vài trăm lần. Tỷ lệ thu được sẽ quanh quẩn gần một nửa.
Bài toán ngày sinh có ứng dụng gì ngoài chuyện vui?
Có, nhất là trong tin học và an toàn thông tin. Khi sinh mã ngẫu nhiên, mã băm hay mã nhận dạng, người thiết kế phải tính xem bao nhiêu mã thì bắt đầu có va chạm; câu trả lời theo đúng tinh thần bài toán ngày sinh, cỡ căn bậc hai của số giá trị có thể có. Vì thế mã phải dài hơn nhiều so với cảm giác ban đầu.