Có, và thường hơn ta nghĩ, nếu chuyện đó có cơ hội xảy ra nhiều lần. Công thức gọn là: khả năng gặp ít nhất một lần = 1 − (1 − p) mũ n, trong đó p là xác suất mỗi lần và n là số lần. Một chuyện chỉ có khả năng một phần nghìn mỗi ngày, lặp lại suốt một năm, thì khả năng gặp ít nhất một lần là khoảng 31%. Lặp mười năm thì lên khoảng 97%.
Phép tính này là chìa khoá cho rất nhiều câu hỏi may rủi đời thường: vì sao chuyện "hiếm" vẫn xảy ra với người quen của mình, vì sao rủi ro nhỏ của việc làm hằng ngày đáng để ý, và vì sao câu "làm cả trăm lần rồi có sao đâu" không chứng minh được việc đó an toàn. Bài này hướng dẫn tính tay, kèm một quy tắc nhẩm nhanh, một lỗi kinh điển mà cả người giỏi toán cũng mắc, và cách đọc câu "chưa từng xảy ra" cho đúng.
Cách tính từng bước, không cần nhớ công thức
Câu hỏi có chữ "ít nhất một lần" luôn nên được tính theo đường vòng: tính khả năng chuyện đó không lần nào xảy ra, rồi lấy 1 trừ đi. Lấy ví dụ giả định một rủi ro 1% mỗi lần, lặp 50 lần:
- Viết khả năng chuyện đó không xảy ra trong một lần: 1 − 0,01 = 0,99.
- Nếu các lần độc lập với nhau, khả năng không xảy ra trong cả 50 lần là 0,99 nhân với chính nó 50 lần, tức 0,99 mũ 50. Máy tính bỏ túi cho kết quả khoảng 0,605.
- Lấy 1 trừ đi: 1 − 0,605 = 0,395. Vậy khả năng gặp ít nhất một lần trong 50 lần là khoảng 40%.
- Kiểm tra lại cảm giác: rủi ro 1% nghe rất nhỏ, nhưng sau 50 lần đã gần nửa phần. Sau 100 lần là khoảng 63%, sau 300 lần là khoảng 95%.
- Khi không có máy tính, dùng bảng nhẩm ở phần dưới.
Điều kiện quan trọng là các lần phải gần như độc lập, nghĩa là lần này xảy ra hay không không làm thay đổi khả năng của lần sau. Nếu không độc lập, chẳng hạn rủi ro tăng dần theo thời gian vì đồ vật xuống cấp, phép tính sẽ cho con số thấp hơn thực tế.
Bảng nhẩm nhanh: rủi ro nhỏ lặp lại bao nhiêu lần thì đáng kể
Các con số dưới đây làm tròn, tính bằng công thức 1 − (1 − p) mũ n:
| Xác suất mỗi lần | Lặp 10 lần | Lặp 100 lần | Lặp 365 lần | Lặp 3.650 lần (khoảng 10 năm mỗi ngày) |
|---|---|---|---|---|
| 1 trên 10 | khoảng 65% | gần như chắc chắn | gần như chắc chắn | gần như chắc chắn |
| 1 trên 100 | khoảng 10% | khoảng 63% | khoảng 97% | gần như chắc chắn |
| 1 trên 1.000 | khoảng 1% | khoảng 10% | khoảng 31% | khoảng 97% |
| 1 trên 10.000 | khoảng 0,1% | khoảng 1% | khoảng 4% | khoảng 31% |
Có một quy tắc nhẩm rất tiện: khi số lần lặp bằng nghịch đảo của xác suất (p là 1 trên 100 và lặp 100 lần, p là 1 trên 1.000 và lặp 1.000 lần…), khả năng gặp ít nhất một lần luôn vào khoảng 63%, chứ không phải 100%. Còn khi số lần lặp nhỏ hơn nhiều so với nghịch đảo của p, có thể nhẩm gần đúng bằng cách nhân n với p: 10 lần, mỗi lần 1 trên 1.000, thì khoảng 1%.
Lỗi kinh điển: cộng xác suất
Nếu một con xúc xắc có khả năng ra mặt sáu là một phần sáu, thì tung sáu lần có chắc ra ít nhất một mặt sáu không? Cộng sáu lần một phần sáu được đúng 1, tức 100%. Nhưng ai từng tung xúc xắc đều biết có lúc tung sáu lần không ra mặt sáu nào. Phép tính đúng là 1 − (5/6) mũ 6, khoảng 66,5%. Cộng xác suất là sai vì nó đếm trùng những lần có hai, ba mặt sáu.
Lỗi này có từ rất lâu. Trong các thư trao đổi năm 1654 giữa hai nhà toán học Pháp Blaise Pascal và Pierre de Fermat, vốn được coi là một trong những khởi điểm của lý thuyết xác suất, có nhắc tới thắc mắc của một nhà quý tộc tên là hiệp sĩ de Méré. Ông nhận thấy khả năng ra ít nhất một mặt sáu trong bốn lần tung một xúc xắc nhỉnh hơn một nửa, khoảng 52%, nhưng khả năng ra ít nhất một cặp sáu khi tung hai xúc xắc 24 lần lại hơi dưới một nửa, khoảng 49%, dù theo lối tính tỷ lệ thô thì hai việc trông như ngang nhau. Lời giải chính là phép tính "ít nhất một lần" ở trên.
Lỗi cộng xác suất còn xuất hiện trong đời thường ở dạng ngược lại: người ta nghĩ "mỗi lần chỉ 1%, làm mười lần cũng chỉ 10%, chẳng đáng gì". Với số lần nhỏ, phép cộng cho kết quả gần đúng. Nhưng khi số lần lớn, phép cộng vượt quá 100% và trở nên vô nghĩa, còn phép tính đúng thì tiến dần tới chắc chắn mà không bao giờ vượt qua.
"Làm cả trăm lần rồi có sao đâu": đọc câu đó thế nào
Đây là câu rất quen khi ai đó được nhắc về một thói quen có rủi ro: chạy xe không đội mũ đoạn ngắn, để con chơi gần ao không có người trông, dùng ổ điện quá tải. Câu trả lời thường là "làm bao nhiêu năm rồi có sao đâu". Về mặt xác suất, câu này nói lên điều gì?
Nếu một việc đã làm 100 lần mà chưa lần nào gặp chuyện, ta biết rủi ro mỗi lần khó mà quá lớn, nhưng không biết nó bằng không. Có một quy tắc thống kê đơn giản gọi là quy tắc số 3: nếu một việc đã lặp n lần mà chưa xảy ra sự cố nào, thì với độ tin cậy khoảng 95%, xác suất sự cố mỗi lần không quá khoảng 3 chia n. Làm 100 lần không sao, rủi ro có thể vẫn lên tới khoảng 3% mỗi lần. Làm 1.000 lần không sao, rủi ro có thể vẫn lên tới khoảng 0,3%.
Ghép với phép tính ít nhất một lần: một rủi ro 0,3% mỗi lần, lặp thêm 1.000 lần nữa, cho khả năng gặp ít nhất một lần khoảng 95%. Nghĩa là quá khứ bình yên không bảo đảm tương lai bình yên, nhất là khi việc đó còn lặp lại rất nhiều lần nữa. Đây không phải để doạ, mà để thấy vì sao những biện pháp an toàn rẻ và đơn giản cho việc làm hằng ngày lại đáng giá đến vậy.
Ngược lại, quy tắc số 3 cũng giúp ta bớt lo với những việc đã được kiểm chứng rất nhiều lần. Một loại vật dụng đã được hàng triệu người dùng mà không ghi nhận sự cố đáng kể thì rủi ro mỗi lần dùng rất nhỏ, dù không bao giờ bằng không.
Áp dụng vào chuyện may rủi đời thường
Chuyện "hiếm" xảy ra với người quen là bình thường. Một người có vài trăm người quen. Một chuyện chỉ một phần nghìn mỗi năm với mỗi người, tính trên vài trăm người, thì khả năng có ít nhất một người quen gặp chuyện ấy trong năm vào khoảng một phần tư đến một phần ba. Nghe tin người quen gặp chuyện hiếm không có nghĩa là chuyện đó đang "tới gần" mình.
Đồ dùng hằng ngày đáng được kiểm tra hơn đồ dùng hiếm. Ổ cắm điện, bình gas, phanh xe được dùng hàng nghìn lần mỗi năm. Rủi ro nhỏ mỗi lần cộng dồn lại đáng kể, nên kiểm tra định kỳ là cách giảm phần rủi ro trong tay mình.
Những lần thử nhiều có lợi khi thứ ta tìm là cơ hội. Phép tính cũng chạy theo chiều tốt. Nộp mười hồ sơ xin việc, mỗi hồ sơ có khả năng một phần mười được gọi phỏng vấn, thì khả năng có ít nhất một cuộc gọi là khoảng 65%. Không chắc chắn, nhưng hơn hẳn nộp một hồ sơ rồi chờ. Bài về tự tạo vận may ở chuyên mục khác của trang bàn sâu hơn về điều này.
Cẩn thận với giả định độc lập. Mười hồ sơ gửi cùng một kiểu, cùng một lỗi, thì không độc lập: nếu hồ sơ có vấn đề, cả mười cùng bị loại. Khi các lần thử có chung một điểm yếu, khả năng thật thấp hơn con số tính được.
Nhiều rủi ro nhỏ khác nhau cộng lại
Phép tính ít nhất một lần không chỉ dùng cho một việc lặp lại, mà còn cho nhiều việc khác nhau cùng diễn ra. Giả sử trong một chuyến đi xa có năm chuyện có thể làm hỏng kế hoạch: xe hỏng, trời mưa bão, quên giấy tờ, ốm, lỡ chuyến nối. Mỗi chuyện chỉ có khả năng khoảng 4% (ví dụ giả định). Khả năng chuyến đi suôn sẻ hoàn toàn là 0,96 mũ 5, khoảng 82%. Nghĩa là gần một phần năm số chuyến đi sẽ có ít nhất một trục trặc, dù từng trục trặc riêng lẻ đều "khó xảy ra".
Đây là lý do những kế hoạch nhiều bước hay trật hơn ta nghĩ, và cũng là cách hiểu theo xác suất của câu "người tính không bằng trời tính". Mỗi bước trông chắc chắn, nhưng khả năng mọi bước cùng trơn tru giảm nhanh khi số bước tăng. Một kế hoạch mười bước, mỗi bước chắc 95%, chỉ có khoảng 60% khả năng chạy đúng hoàn toàn.
Cách ứng xử thực tế không phải là lo lắng thêm, mà là chừa khoảng dư: đi sớm hơn một chút, mang theo bản sao giấy tờ, có phương án thay thế cho bước dễ hỏng nhất. Không ai loại bỏ được mọi rủi ro nhỏ, nhưng giảm vài rủi ro lớn nhất trong số đó thường đủ để khả năng suôn sẻ tăng lên rõ rệt.
Cách giải thích cho trẻ và người lớn tuổi
Với trẻ em, có thể dùng một túi đựng 99 viên bi trắng và 1 viên bi đỏ. Mỗi lần bốc một viên rồi bỏ lại vào túi. Hỏi trẻ: bốc bao nhiêu lần thì chắc chắn có lần ra bi đỏ? Phần đông sẽ nói 100 lần. Cho trẻ làm thử vài vòng, mỗi vòng 100 lần (hoặc dùng mô phỏng trên bảng tính), trẻ sẽ thấy có vòng ra bi đỏ rất sớm, có vòng 100 lần vẫn chưa ra. Tính ra, khoảng 37% số vòng 100 lần không có bi đỏ nào.
Với người lớn tuổi, cách giải thích hiệu quả thường là gắn với kinh nghiệm sẵn có. Ông bà từng làm ruộng biết rằng năm nào cũng có khả năng gặp lũ hay hạn, mỗi năm không nhiều, nhưng sống đủ lâu ở một vùng thì ai cũng trải qua vài trận. Đó chính là phép tính ít nhất một lần, chỉ là được học bằng đời sống chứ không bằng công thức.
Cả hai cách đều tránh được việc biến xác suất thành nỗi sợ. Mục đích không phải để ai cũng lo lắng về mọi rủi ro nhỏ, mà để hiểu vì sao những thói quen an toàn đơn giản đáng giữ, và vì sao một chuyện hiếm xảy ra với ai đó không phải là dấu hiệu đặc biệt nào.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao không cộng xác suất mà phải lấy 1 trừ?
Vì phép cộng đếm trùng những trường hợp chuyện đó xảy ra nhiều lần, nên kết quả bị phóng to và có thể vượt 100%. Tính khả năng không lần nào xảy ra thì chỉ cần nhân các xác suất không xảy ra với nhau, không có gì bị đếm trùng. Lấy 1 trừ đi là ra khả năng có ít nhất một lần.
Quy tắc số 3 có chính xác không?
Đó là một xấp xỉ khá tốt cho khoảng tin cậy 95% khi chưa ghi nhận sự cố nào và số lần thử từ vài chục trở lên. Nó cho biết giới hạn trên hợp lý của rủi ro, không cho biết rủi ro thật bằng bao nhiêu. Rủi ro thật có thể nhỏ hơn nhiều, quy tắc chỉ nói nó khó mà lớn hơn mức đó.
Nếu một chuyện đã xảy ra với mình một lần, lần sau có ít khả năng hơn không?
Nếu các lần thật sự độc lập, khả năng ở lần sau không thay đổi. Chuyện đã xảy ra không làm mình được miễn, cũng không làm mình dễ bị hơn. Nhưng nếu chuyện đó xảy ra vì một điều kiện còn tồn tại, khả năng lần sau có thể vẫn cao như cũ hoặc cao hơn.
Phép tính này có dùng được cho chuyện tốt như cơ hội việc làm?
Có. Mỗi lần thử độc lập với một khả năng thành công nhất định thì càng thử nhiều, khả năng có ít nhất một lần thành công càng cao. Điều cần nhớ là các lần thử thường không hoàn toàn độc lập, nên cải thiện chất lượng mỗi lần thử cũng quan trọng như tăng số lần.
Bài toán của hiệp sĩ de Méré có thật trong lịch sử không?
Tên hiệp sĩ de Méré xuất hiện trong các thư trao đổi giữa Pascal và Fermat năm 1654, thường được sách lịch sử xác suất nhắc lại. Chi tiết chính xác về việc ông quan sát hay chỉ đặt câu hỏi thì các nguồn kể hơi khác nhau, nhưng phép tính 52% và 49% là đúng về mặt toán học.
Làm sao nhẩm nhanh khi không có máy tính?
Nếu n nhân p nhỏ hơn khoảng 0,1, lấy luôn n nhân p làm kết quả gần đúng. Nếu n bằng nghịch đảo của p, kết quả khoảng 63%. Nếu n gấp ba lần nghịch đảo của p, kết quả khoảng 95%. Ba mốc này đủ cho hầu hết ước lượng đời thường.