Ngẫu nhiên thật không trải đều. Nó vón thành cục, có chỗ dày chỗ thưa, có những chuỗi dài lặp lại khiến ta tưởng có quy luật. Tung một đồng xu cân đối 100 lần, khả năng xuất hiện ít nhất một chuỗi sáu lần liền cùng một mặt là khoảng 80%, và chuỗi bảy lần liền là khoảng 54%. Phần lớn người được nhờ "bịa" một dãy 100 lần tung lại viết ra dãy đổi mặt liên tục, hiếm khi quá bốn lần liền.
Đó là lý do chuyện xui hay chuyện may thường đến "thành đợt" trong cảm nhận của ta: một tuần hỏng xe, ốm, mất ví; một tháng việc gì cũng thuận. Một phần cảm giác ấy đúng là có nguyên nhân (mệt mỏi làm dễ sai sót hơn), nhưng một phần lớn chỉ là hình dạng tự nhiên của ngẫu nhiên. Bài này cho thấy ngẫu nhiên thật trông ra sao, vì sao mắt người nhìn thấy quy luật ở đó, và những ví dụ nổi tiếng từ bom bay ở London đến "bàn tay nóng" trong bóng rổ.
Ngẫu nhiên thật có chuỗi dài đến đâu
Các con số dưới đây tính cho đồng xu cân đối, đếm chuỗi liên tiếp cùng một mặt bất kỳ (sấp hoặc ngửa), làm tròn:
| Số lần tung | Có chuỗi ít nhất 5 lần liền | Có chuỗi ít nhất 6 lần liền | Có chuỗi ít nhất 7 lần liền |
|---|---|---|---|
| 20 lần | khoảng 46% | khoảng 24% | khoảng 12% |
| 100 lần | khoảng 97% | khoảng 81% | khoảng 54% |
Với 100 lần tung, gần như chắc chắn có một chuỗi năm lần liền, và nhiều khả năng có chuỗi sáu hay bảy. Một quy tắc nhớ nhanh: chuỗi dài nhất thường vào khoảng log cơ số 2 của số lần tung, tức là khoảng 6 đến 7 với 100 lần. Đây là phép tính kiểm được bằng tay với số nhỏ hoặc bằng bảng tính với số lớn.
Ở các lớp học xác suất, có một bài tập quen thuộc: giáo viên chia lớp làm hai nhóm, một nhóm tung đồng xu thật 100 lần, nhóm kia tự nghĩ ra 100 kết quả. Giáo viên quay mặt đi, nhìn hai dãy và thường đoán đúng dãy nào là thật chỉ bằng cách tìm chuỗi dài: dãy có chuỗi sáu bảy lần liền là dãy thật, dãy đổi mặt đều đặn là dãy bịa.
Vì sao mắt người thấy quy luật trong ngẫu nhiên
Trong hình dung của phần lớn chúng ta, "ngẫu nhiên" nghĩa là "lộn xộn đều": sấp ngửa xen kẽ, điểm rải đồng đều, không có chỗ nào quá dày. Nhưng hình dung đó thật ra là một dạng trật tự. Một dãy sấp ngửa đổi mặt quá đều đặn còn ít ngẫu nhiên hơn dãy thật, vì nó có quy luật ngầm "không cho lặp lâu".
Khi gặp một chuỗi dài hay một cụm dày, ta cảm thấy "không thể là ngẫu nhiên" và đi tìm nguyên nhân. Các nhà tâm lý học gọi đây là ảo giác vón cục (clustering illusion). Nó có gốc rễ dễ hiểu: trong đời sống, phát hiện quy luật thường có lợi; nhầm một bụi cây là thú dữ thì chỉ mất công chạy, còn nhầm thú dữ là bụi cây thì mất mạng. Bộ não được rèn để thà thấy quy luật thừa còn hơn bỏ sót.
Ảo giác này khác với ngụy biện cho rằng sau chuỗi xấu sẽ tới lượt tốt (ngụy biện ấy được bàn kỹ ở chuyên mục tâm lý học may rủi của trang). Ở đây, vấn đề không phải đoán lần sau, mà là đọc nhầm hình dạng của cái đã xảy ra. Thấy một chuỗi dài, ta tin có "vận" đang chạy; thấy một cụm dày, ta tin có nguyên nhân chung.
Bom bay ở London và phép thử Poisson
Một ví dụ kinh điển trong sách xác suất là phân tích của R. D. Clarke, công bố năm 1946, về các quả bom bay rơi xuống phía nam London cuối Chiến tranh thế giới thứ hai. Người dân thấy bom rơi dồn vào một số khu và tin rằng đối phương ngắm được mục tiêu chính xác, khu nào bị dồn bom là khu bị nhắm.
Clarke chia vùng bị ảnh hưởng thành 576 ô vuông nhỏ bằng nhau, mỗi ô khoảng một phần tư kilômét vuông, rồi đếm số ô có 0, 1, 2, 3… quả bom. Ông so bảng đếm này với con số dự đoán theo phân bố Poisson, tức là con số ta sẽ thấy nếu bom rơi hoàn toàn ngẫu nhiên. Hai bảng khớp nhau rất sát. Nghĩa là những cụm bom mà người dân thấy rõ mồn một hoàn toàn phù hợp với việc bom rơi ngẫu nhiên; không cần giả định ngắm bắn chính xác.
Bài học không phải là mọi cụm đều ngẫu nhiên, mà là: muốn biết một cụm có đáng ngờ không, phải so với mức vón cục mà ngẫu nhiên tự nhiên vẫn tạo ra. Mắt thường không làm được phép so đó, vì mắt thường mặc định ngẫu nhiên là đều.
Phép thử của Clarke ngày nay vẫn được dùng trong nhiều lĩnh vực, từ dịch tễ học khi xem xét một xóm có nhiều ca bệnh, đến quản lý giao thông khi xem xét một đoạn đường có nhiều vụ va chạm. Câu hỏi luôn là: số ca ở đây có vượt quá mức mà ngẫu nhiên vẫn thường tạo ra không? Chỉ khi vượt rõ, người ta mới đi tìm nguyên nhân chung.
"Bàn tay nóng": khi khoa học cũng phải sửa mình
Năm 1985, Thomas Gilovich, Robert Vallone và Amos Tversky công bố nghiên cứu về "bàn tay nóng" trong bóng rổ: niềm tin rằng cầu thủ vừa ném trúng vài quả liên tiếp thì đang "vào phom" và quả sau dễ trúng hơn. Phân tích dữ liệu ném rổ, họ kết luận chuỗi ném trúng không dài hơn mức ngẫu nhiên dự đoán, và bàn tay nóng là ảo giác. Kết quả này trở thành ví dụ nổi tiếng về việc con người thấy quy luật trong ngẫu nhiên.
Khoảng ba thập kỷ sau, Joshua Miller và Adam Sanjurjo chỉ ra một lỗi tinh vi trong cách đo của nghiên cứu gốc: khi chọn ra những lần ném ngay sau một chuỗi trúng trong một dãy hữu hạn, phép tính đơn giản có xu hướng cho kết quả thấp hơn thực tế. Sửa lỗi này, họ thấy có bằng chứng cho một hiệu ứng bàn tay nóng nhỏ trong một số dữ liệu. Cuộc tranh luận đến nay vẫn tiếp tục về độ lớn của hiệu ứng.
Câu chuyện này đáng kể vì nó cho thấy hai điều cùng lúc. Một là mắt người vẫn có xu hướng thổi phồng các chuỗi, vì hiệu ứng nếu có cũng nhỏ hơn nhiều so với cảm giác của khán giả. Hai là chính phép đo ngẫu nhiên cũng có bẫy, và kết luận "chỉ là ngẫu nhiên" cũng cần được kiểm cẩn thận như kết luận "có quy luật".
"Họa vô đơn chí" nhìn bằng con mắt xác suất
Câu thành ngữ mô tả đúng một cảm giác có thật. Họa vô đơn chí, tai hoạ không đến một mình, là cảm nhận của nhiều thế hệ. Phần ngẫu nhiên ở trên cho thấy chuyện không may đến thành đợt là điều được trông đợi ngay cả khi các chuyện hoàn toàn độc lập. Câu thành ngữ không sai về hiện tượng, chỉ cần cẩn thận khi suy ra nguyên nhân.
Có những đợt có nguyên nhân thật. Một số chuyện không may kéo theo nhau: mất ngủ làm dễ quên chìa khoá, dễ va quẹt xe; ốm làm lỡ việc, lỡ việc làm căng thẳng. Những chuỗi này có cơ chế rõ ràng, và nhận ra cơ chế là cách để cắt chuỗi, chẳng hạn nghỉ ngơi trước khi lái xe.
Phần còn lại là vón cục tự nhiên. Ba chuyện không liên quan gì đến nhau, như vỡ cái cốc, mạng mất kết nối, trời mưa đúng hôm quên áo mưa, rơi vào cùng một tuần là chuyện sẽ xảy ra với mọi người nhiều lần trong đời. Không cần giải thích bằng vận.
Ghi nhớ chọn lọc làm đợt xui trông dài hơn. Khi đang thấy mình xui, ta để ý mọi chuyện nhỏ không như ý và bỏ qua những chuyện suôn sẻ. Viết lại cả việc tốt lẫn việc không tốt trong tuần thường cho bức tranh cân bằng hơn hẳn cảm giác.
Ngẫu nhiên vón cục trong đời sống: đêm trực đông, ngày vắng khách
Những người làm nghề phải tiếp nhận sự kiện ngẫu nhiên thường có câu cửa miệng về "đêm đông", "ngày vắng". Nhân viên trực cấp cứu kể có đêm cả ca không ngồi được, có đêm yên ả lạ thường. Người bán hàng kể có buổi sáng khách dồn một lúc rồi cả tiếng không ai ghé. Người ta hay tìm lý do: trăng tròn, ngày xấu, "vía" của người mở hàng.
Thử làm một ví dụ giả định. Một phòng khám nhỏ trung bình mỗi giờ có hai người đến, và người nào đến cũng không liên quan đến người khác. Nếu các lượt đến là ngẫu nhiên kiểu này (dạng mà các nhà thống kê mô tả bằng phân bố Poisson), thì khoảng 14% số giờ sẽ không có ai, và khoảng 5% số giờ sẽ có từ năm người trở lên. Trong một tháng làm việc khoảng hai trăm giờ, sẽ có cỡ mười giờ "đông bất thường" và cỡ hai mươi lăm giờ "vắng tanh", dù không có gì đặc biệt xảy ra.
Biết điều này có ích thực tế. Người quản lý không nên vội kết luận một ca đông là do nguyên nhân đặc biệt, hay đổ lỗi cho người trực "xui". Ngược lại, khi bố trí người, nên tính đến việc ngẫu nhiên sẽ tạo ra những giờ cao điểm không báo trước, để dư một ít sức chứ không xếp vừa khít với mức trung bình.
Và với người đứng quầy, một buổi sáng vắng khách không phải điềm gì cả. Nó chỉ là một trong những buổi sáng mà ngẫu nhiên, theo đúng bản chất của nó, phải tạo ra.
Thử nghiệm nhỏ để tự cảm nhận ngẫu nhiên thật
Đọc về chuỗi ngẫu nhiên không thuyết phục bằng tự tay làm. Một thí nghiệm mười lăm phút, làm được với trẻ lớp năm trở lên:
- Lấy một tờ giấy, tự nghĩ và viết ra 50 kết quả sấp (S) ngửa (N) như thể đang tung đồng xu thật. Đừng tung, chỉ viết.
- Lấy một đồng xu, tung thật 50 lần và ghi kết quả thành một dãy thứ hai.
- Với mỗi dãy, đếm chuỗi dài nhất cùng một chữ, và đếm số lần đổi chữ (từ S sang N hoặc ngược lại).
- So hai dãy. Thường dãy tự viết có chuỗi dài nhất ngắn hơn và đổi chữ nhiều hơn dãy thật. Dãy thật 50 lần thường có chuỗi dài nhất khoảng năm sáu lần liền.
- Đưa hai dãy cho người khác, không nói dãy nào là dãy nào, hỏi họ đoán dãy nào "ngẫu nhiên hơn". Phần nhiều sẽ chọn nhầm dãy tự viết.
Sau thí nghiệm, nhiều người nhớ rất lâu cảm giác bất ngờ khi thấy dãy thật "trông không ngẫu nhiên chút nào". Đó cũng là lúc câu "xui đến thành đợt" được nhìn bằng con mắt bình thản hơn.
Câu hỏi thường gặp
Nếu tung đồng xu ra ngửa năm lần liền, lần sau có dễ ra sấp hơn không?
Không. Với đồng xu cân đối và cách tung bình thường, mỗi lần tung độc lập với các lần trước, nên lần sau vẫn có khả năng khoảng một nửa cho mỗi mặt. Chuỗi năm lần ngửa không làm đồng xu "nợ" mặt sấp. Đó là ngụy biện quen thuộc về ngẫu nhiên có trí nhớ.
Làm sao phân biệt một cụm sự kiện là ngẫu nhiên hay có nguyên nhân chung?
Cần so với mức vón cục mà ngẫu nhiên tự nhiên tạo ra, như cách Clarke so số bom mỗi ô với phân bố Poisson. Trong đời thường, hỏi thêm: cụm đó có lặp lại khi theo dõi tiếp không, và có cơ chế hợp lý nào nối các sự kiện không. Thiếu cả hai thì khả năng cao là ngẫu nhiên.
Vì sao máy phát ngẫu nhiên trong ứng dụng nghe nhạc bị chê là không ngẫu nhiên?
Vì chế độ phát ngẫu nhiên thật đôi khi phát liên tiếp hai bài cùng ca sĩ, và người nghe thấy vậy là không ngẫu nhiên. Theo nhiều bài viết kỹ thuật, một số dịch vụ đã điều chỉnh để danh sách trông đều hơn, tức là bớt ngẫu nhiên đi để hợp cảm giác người dùng.
Họa vô đơn chí có phải là quy luật thật không?
Không phải quy luật theo nghĩa có lực nào kéo các chuyện xấu đến cùng nhau. Phần lớn là vón cục tự nhiên của ngẫu nhiên cộng với trí nhớ chọn lọc. Một phần là chuỗi có nguyên nhân thật, như mệt mỏi dẫn tới sai sót. Phần có nguyên nhân là phần ta có thể làm gì đó để cắt chuỗi.
Kết luận về bàn tay nóng hiện nay ra sao?
Sau phân tích của Miller và Sanjurjo, nhiều nhà nghiên cứu chấp nhận rằng có thể tồn tại một hiệu ứng bàn tay nóng nhỏ ở một số dữ liệu, nhưng nhỏ hơn nhiều so với cảm giác của khán giả và cầu thủ. Độ lớn chính xác vẫn còn được tranh luận, và tuỳ môn thể thao, tuỳ cách đo.
Dạy trẻ về ngẫu nhiên thế nào cho dễ hiểu?
Cách hiệu quả nhất là cho trẻ tự làm: tự viết một dãy sấp ngửa rồi tung thật để so, hoặc thả hạt gạo ngẫu nhiên lên một tờ giấy kẻ ô và đếm số hạt mỗi ô. Trẻ sẽ tự thấy ngẫu nhiên thật có chỗ dày chỗ thưa, và bớt tin rằng chuỗi xui là điềm gì đó.